Archive for 2017

KONSTRUKSI RANGKA BATANG

A. PENGERTIAN

Konstruksi rangka batang adalah suatu konstruksi yg tersusun atas batang-batang yang dihubungkan satu dengan lainnya untuk menahan gaya luar secara bersama-sama.

MACAM-MACAM KONSTRUKSI RANGKA BATANG

1. Konstruksi rangka batang tunggal

Jika setiap batang atau setiap segitiga penyusunannya mempunyai kedudukan yang setingkat, atau konstruksi terdiri dari atas satu kesatuan yang sama (setara).

Contohnya

2. Konstruksi rangka batang ganda

Jika Setiap batang atau setiap segitiga penyusunnya setingkat kedudukannya. akan tetapi konstruksi terdiri atas dua buah kesatuan konstruksi yang setara.

Contohnya

3. Konstruksi rangka batang tersusun.

Jika kedudukan batang atau segitiga penyusun konstruksi ada beda tingkatannya, dengan kata lain, konstruksi terdiri atas konstruksi anak dan konstruksi induk.

Dapat kita lihat pada contoh , segitiga ABC merupakan segitiga konstruksi induk, sedang segitiga ADE merupakan segitiga konstruksi anak.

Contohnya

Alasan mengapa sebuah Kontruksi rangka batang pada umumnya adalah berbentuk segitiga, antara lain :

1. Karena bentuk segitiga adalah bentuk yang paling menyatu dibanding bentuk yang lain.

2. Perubahan tempat akibat adanya gaya luar menjadi lebih kecil dalam bentuk segitiga di banding dari pada bentuk yang lain.

3. Bentuk segitiga merupakan bentuk yang paling stabil (statis).

4. Dan juga tidak menimbulkan tegangan didalam batang walaupun ada kesalahan ukuran dalam pelaksanaannya

KESEIMBANGAN KONTRUKSI RANGKA

Sebuah Kontruksi rangka batang bisa bersifat statis tertentu atau statis tidak tentu, yang dapat ditentukan dengan suatu formula

S = 2K – 3

Dimana :

banyaknya batang = (S)

banyaknya titik buhul = (K)

A dan B = konstanta

Catatan : jika S > atau = 2K - 3 maka merupakan rangka batang statis tidak tentu

S < 2K – 3 maka merupakan rangka batang statis tertentu

Contoh :

Periksalah apakah kontruksi tersebut stabil atau tidak ?

Penyelesaian :

Banyak Batang = 13

Banyaknya titik Buhul k =8

S = 2k – 3

S = 2. (8) -3 = 13 (Sesuai) berarti kontruksi tersebut stabil.

METODE-METODE PERHITUNGAN GAYA BATANG PADA KONTRUKSI RANGKA BATANG

1. Metode kesetimbangan buhul ( cara analitis )

konsep terpenting dalam metode ini, ialah :

1. Uraikan terlebih dahulu gaya-gaya batang menjadi 2 arah yang tegak lurus

2. Hitung reaksi ( Ra dan Rb ) tumpuan akibat pembebanan yang diberikan

3. Namai batang-batang dan titik-titik buhul kontruksi, agar lebih mudah membedakannya dalam perhitungan kedepannya.

4. Buat perjanjian tanda, yang pada umumnya dalam perhitungan tanda negatif (-) dilambangkan sebagai tekan. Dan lambanga positif (+) dilambangkan sebagai tarik.

5. Mulailah perhitungan, dengan terlebih dahulu menghitung gaya-gaya batang pada titik buhul yang maximal gaya batangnya hanya 2 gaya batang yang tidak diketahui.

6. Kemudian lanjutkan perhitungan ke titik buhul lainnya dengan syarat tadi “ hanya 2 gaya batang maximum yang tidak diketahui pada titik buhul”

7. Dalam perhitungan pada tiap-tiap titik buhul, di buat asumsi awal dimana semua gaya-gaya batang arahnya menjauhi titik buhul pada titik buhul yang kita hitung.

8. Dan jika hasil yang diperoleh bernilai positif (+) maka batang tersebut adalah batang tarik, dan sebaliknya jika hasil yang diperoleh bernilai negatif (-) maka batang tersebut adalah batang tekan.

9. Simpulkan hasil perhitungan gaya-gaya batang pada tabel hasil perhitungan agar anda sendiri bisa melihat hasilnya secara keseluruhan.

Contoh perhitungan dengan metode kesetimbangan titik buhul

Hitung gaya-gaya batang pada kontruksi diatas dengan metode kesetimbangan titik buhul ?

Penyelesaian :

Menghitung reaksi tumpuan

Σ MB = 0 ; RA(9) – 6(6,75) – 6(4,5) – 6(2,25) = 0

Maka RA = 9 kN

Karena kontruksi simetris maka RA = RB = 9kN

Kita mulai perhitungan gaya dalam dengan mengambil titik yang maksimal gaya batangnya hanya 2 yang tidak diketahui

Kita mulai dengan mengambil titik A

Karena batang S1 sudah diketahui selanjutnya kita ambil titik D untuk mencari S4 dan S3.

Kita ambil titik C

Kita ambil titik F

2. Metode ritter ( cara analitis )

Metode ritter atau umumnya disebut sebagai metode potongan itu berprinsip pada keseimbangan suatu kontruksi. Dimana pada sebuah kontruksi yang seimbang bila dipotong pada sembarang bagian, maka bagian sebelah kiri dari kontruksi akan melakukan keseimbangan gaya-gaya yang ada, demikian juga pada bagian kanan dari kontruksi tersebut.

Prinsip pengerjaan dengan metode ritter ini ialah :

1. Terlebih dahulu hitung reaksi-reaksi pada tumpuan.

2. Kemudian potongan yang kita dibuat hendaknya jangan lebih dari tiga gaya batang yang tidak diketahui, untuk mempermudah dalam menentukan batang tarik dan batang tekan.

3. Dalam potongan yang telah dibuat, pilih titik pusat momen sedemikian sehingga hanya sebuah gaya yang belum diketahui besarnya dan gaya tersebut tidak melewati

4. Dan dalam melakukan perhitungan potongan yang di ambil, dimisalkan setiap gaya-gaya batang itu meninggalkan titik buhul disetiap perhitungan yang dilakukan.

5 . Seperti halnya dengan metode sebelumnya, jika hasil yang diperoleh bernilai positif (+) maka batang tersebut adalah batang tarik, sedangkan jika hasil yang diperoleh bernilai negatif (-) maka batang tersebut adalah batang tekan.

Untuk lebih jelasnya coba kita lihat contoh berikut ini :

Carilah gaya-gaya batang pada kontruksi dibawah ini dan tentukan sifatnya ?

Penyelesaian :

Kita ambil pertama potongan A-A, karena dipotongan ini hanya 2 gaya batang yang tidak diketahui yaitu S1 dan S2.

Kemudian kita masih perlu mencari jarak siku batang S1 terhadap titik A.

3. Metode cremona ( cara grafis )

Metode cremona adalah metode penyelesaian gaya-gaya batang dengan cara grafis. Dalam metode ini yang perlu kita kuasai ialah pemahaman konsep perhitungannya. Dimana, agar nantinya tidak membingungkan kita sendiri jika kita berjumpa dengan model kontruksi yang lebih sulit lagi .

Jadi, prinsip terpenting dalam perhitungan metode ini yaitu sebagai berikut :

1. Hitung terlebih dahulu reaksi-reaksi tumpuan.

2. Namai tiap batang dan tiap titik buhul agar mudah dikenali dalam perhitungan nantinya.

3. Buat tanda pada tiap batang apakah batang tersebut merupakan batang tekan atau batang tarik, dengan melihat lendutan akibat pembebanan yang diberikan.

4. Dan terlebih dahulu jangan lupa membuat skala penggambarannya, agar tidak membingungkan nantinya dalam menentukan arah penggambaran yang selanjutnya akan kita lakukan.

5. Mulailah melukiskan gaya batang, dimulai dari titik buhul yang maksimum besar gaya batangnya hanya 2 batang yang tidak diketahui, yang biasanya kita mulai dari titik perletakan.

6. Urutan dalam melukiskan gaya batang itu searah jarum jam.

7. Dan dalam menentukan besarnya gaya batang itu berprinsip bahwa, resultan seluruh gaya luar dan gaya dalam=0.

8. Dalam melukisan arah gaya batang harus sejajar batang yang dihitung gayanya.

9. Terakhir buatkan dalam tabel besarnya gaya tiap batang agar kita bisa menarik kesimpulan dalam perhitungan tersebut.

Berikut contoh soal untuk mempermudah pemahaman para kawan-kawan sekalian,

Hitunglah besar dan jenis gaya batang tersebut dengan cara ceremona ?

PENYELESAIAN :

Jadi untuk menentutkan batang tarik atau tekan kita bisa melihat lendutan yang terjadi karena beban rangka batang tersebut

Kemudian kita namai tiap titik buhul, untuk memper mudah pengerjaan.

Baru kita tentukan urutan pengerjaan penggambaran yang akan kita lakukan.

Baru kita kerjakan sesuai urutan yang telah kita buat.

1. Penggambaran kita mulai dari titik C, karena di titik C hanya 2 batang yang belum diketahui yaitu S1 dan S2 . kita mulai penggambaran dari P1 sampai tertutup kembali searah jarum jam penggambaran.

2. Kemudian kita ambil titik D, karena batang S1 sudah diketahui dari titik C, hanya tinggal batang S3 dan S4. Jadi, kita mulai penggambaran dari batang S1 sampai menutup kembali searah jarum jam penggambaran.

3. Kemudian ke titik E, seperti konsep awal dimulai searah jarum jam urutan penggambaran nya sampai tertutup kembali ke titik start. Untuk memperoleh batang S6 dan S5.

4. Kemudian ke titik A untuk memperoleh batang S10. Dimana disini kita dapatkan bahwa batang S11=0 , karena di titik A tidak ada komponen gaya vertikalnya, hanya S11 saja.

5. Kemudian ketitik G unutk memperoleh batang S9 dan S7

6. Kemudian ke titik B untul memperoleh S8.

7. Kemudian kita ke titik F

8. Setelah setiap titik kita sudah bisa menyelesaikannya. Maka secara keseluruhan pun kita akan paham dalam penyelesaiannya juga. Yang paling penting di ingat dalam penggambaran itu hanya 2 batang yang tidak diketahui dan penggambarannya searah jarum jam.

Pengertian Matriks - Pelajaran matematika mengenai matriks biasanya diajarkan pada siswa-siswi yang duduk di bangku SMA atau SMK. Materi ini bisa dibilang menyenangkan untuk dipelajari karena untuk memahaminya kita diharuskan untuk memutar otak dan menggunakan logika pemikiran secara maksimal. Sebagai dasar untuk mempelajari materi matriks matematika, pada postingan ini rumus matematika dasar akan menjelaskan kepada kalian mengenai definisi atau pengertian dari matriks matematika serta unsur-unsur yang ada di dalamnya. Sehingga ketika nanti kalian memulai untuk mempelajari perhitungan matematika yang berhubungan dengan matriks, kalian sudah memiliki pengetahuan dasar dan bisa memahami materi pelajaran tersebut dengan lebih baik.

Materi Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Matematika Lengkap

Definisi Matriks Matematika dan Jenis-jenis Matriks

Pertama-tama mari kita lihat definisi matriks menurut wikipedia:

"Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks."

Selanjutnya, secara umum matriks dapat diartikan sebagai sebuah susunan atau kumpulan dari beberapa bilangan yang disusun berdasarkan kepada baris dan kolom yang bentuknya persegi panjang. Matriks memiliki ciri khas khusus dimana biasanya bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [] namun terkadang ada juga elemen matriks yang diapit oleh tanda kurung biasa ().

Ukuran dari sebuah matriks disebut dengan ordo yang menjelaskan jumlah dari kolom dan baris yang ada di dalam matriks tersebut.

Ukuran dari sebuah matriks dapat di simbolkan dengan rumus berikut ini:

A_mxn

A = Nama Matriks

m = jumlah baris

n = jumlah kolom

mxn = ordo matriks

Contoh:

Jangan sampai terbalik dalam membaca ordo matriks, ingatlah bahwa ordo matriks adalah banyaknya baris dikali dengan banyaknya kolom.

Diagonal utama dan diagonal sekunder pada matriks

Di dalam materi mengenai matriks juga dikenal istilah diagonal. Ada dua jenis diagonal di dalam matriks yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan garis miring yang ditarik dari sisi kiri atas matriks menuju sisi kanan bawah matriks. Sementara diagonal sekunder adalah kebalikannya. Seperti bisa dilihat pada gambar berikut:

Jenis-Jenis Matriks Berdasarkan Banyaknya Baris dan Kolom

Matriks Persegi

Merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, misalnya 4x4, 2x2, atau 5x5. Sehingga ordonya dilambangkan n x n.

Matriks Baris

Adalah matriks yang hanya memiliki satu buah baris namun memiliki beberapa kolom. Matriks ini ordonya adalah 1 x n dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya 1 x 2, 1 x 4, 1 x 6, dsb.

Matriks kolom

Merupakan kebalikan dari matriks baris. Hanya terdiri dari satu kolom namun memiliki beberapa baris. Ordo dari matriks ini adalah n x 1 dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya adalah 2 x 1, 3 x 1, 5 x 1, dsb.

Matriks Mendatar

Adalah matriks yang memiliki jumlah kolom yang lebih banyak dibandingkan jumlah barisnya. Contohnya adalah 3 x 5, 4 x 6, dsb.

Matriks Tegak

Merupakan kebalikan dari matriks mendatar dimana jumlah barisnya lebih banyak dibandingkan jumlah kolomnya. Contohnya adalah 6 x 3, 4 x 2, 8 x 5, dsb.

Jenis Matriks Berdasarkan pada Pola Elemennya

Matriks Nol

Merupakan matriks dengan ordo m x n dimana seluruh elemennya memiliki nilai nol.

Matriks Diagonal

Merupakan matriks persegi yang elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya.

Matriks Identitas

Adalah matriks yang diagonal utamanya di isi dengan elemen bernilai 1 sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.

Matriks Segitiga Atas

Adalah matriks yang keseluruhan nilai dibawah diagonal utamanya adalah nol.

Matriks Segitiga Bawah

Merupakan kebalikan dari matriks segitiga atas dimana seluruh elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks Simetris

Merupakan sebuah matriks dimana elemen yang ada di atas dan dibawah doagonal utamanya memiliki susunan nilai yang sama.

Matriks Skalar

Adalah matriks yang memiliki elemen diagonal utama bernilai sama sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.

CONTOH SOAL

Soal No. 1
Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai berikut:

Tentukan A − B

Pembahasan
Operasi pengurangan matriks:

Soal No. 2
Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini,

Tentukan 2A + B

Pembahasan
Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan:

Soal No. 3
Matriks P dan matriks Q sebagai berikut

Tentukan matriks PQ

Pembahasan
Perkalian dua buah matriks

Soal No. 4
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini

Diketahui bahwa P = Q
Pembahasan
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa

3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y = 6
y = 2
Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

Soal No. 5
Tentukan determinan dari matriks A berikut ini

Pembahasan
Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13

Soal No. 6
Diberikan sebuah matriks

Tentukan invers dari matriks P

Pembahasan
Invers matriks 2 x 2

Soal No. 7
Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini

Pembahasan
Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris menjadi kolom seperti contoh berikut:

Soal No. 8

Diketahui persamaan matriks

Nilai a + b + c + d =....
A. − 7
B. − 5
C. 1
D. 3
E. 7

Pembahasan
Jumlahkan dua matriks pada ruas kiri, sementara kalikan dua matriks pada ruas kanan, terakhir gunakan kesamaan antara dua buah matriks untuk mendapatkan nilai yang diminta.

2 + a = −3
a = − 5

4 + b = 1
b = − 3

d − 1 = 4
d = 5

c − 3 = 3
c = 6

Sehingga
a + b + c + d = −5 − 3 + 6 + 5 = 3

Soal No. 9
Diketahui matriks

Apabila B − A = C^t = transpos matriks C, maka nilai x .y =....
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
(UN 2007)

Pembahasan
Transpos C diperoleh dengan mengubah posisi baris ke kolom, B − A adalah pengurangan matriks B oleh A

Akhirnya, dari kesamaan dua matriks:
y − 4 = 1
y = 5

x + y − 2 = 7
x + 5 − 2 = 7
x + 3 = 7
x = 4

x . y = (4)(5) = 20

Soal No. 10

Jika

maka x + y =....
A. − ¹⁵/₄
B. − ⁹/₄
C. ⁹/₄
D. ¹⁵/₄
E. ²¹/₄
(Soal UMPTN Tahun 2000)

Pembahasan
Masih tentang kesamaan dua buah matriks ditambah tentang materi bentuk pangkat, mulai dari persamaan yang lebih mudah dulu:
3x − 2 = 7
3x = 7 + 2
3x = 9
x = 3

4^{x + 2y} = 8
2^{2(x + 2y)} = 2³
2^{2x + 4y} = 2³
2x + 4y = 3
2(3) + 4y = 3
4y = 3 − 6
4y = − 3
y = − ³/₄

Sehingga:
x + y = 3 + (− ³/₄) = 2 ¹/₄ = ⁹/₄

Soal No. 11
Invers dari matriks A adalah A⁻¹.

Jika

tentukan matriks (A⁻¹)^T
Pembahasan
Invers matriks dan tranpos sebuah matriks.
Misalkan:

Sehingga:

Soal No. 12

Tentukan nilai x agar matrik

merupakan sebuah matriks yang tidak memiliki invers!

Pembahasan
Matriks yang tidak memiliki invers, disebut matriks singular. Determinan dari matriks singular sama dengan nol.

det P = ad − bc = 0
(2)(x) − (3)(5) = 0
2x − 15 = 0
2x = 15
x = ¹⁵/₂

Soal No. 13

Diketahui matriks

dan

Jika A = B, maka a + b + c =....
A. − 7
B. − 5
C. − 1
D. 5
E. 7
(UN Matematika Tahun 2010 P37 Matriks)

Pembahasan
Kesamaan dua matriks:
4a = 12
a = 3

3a = − 3b
−3a = − 3b
−3(3) = − 3b
−9 = − 3b
b = 3

3c = b
3c = 3
c = 1

a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 7

Soal No. 14

Diketahui matriks

memenuhi AX = B, tentukan matriks X

Pembahasan
Jika AX = B, maka untuk mencari X adalah
X = A⁻¹ B

Cari invers matriks A terlebih dahulu, setelah ketemu kalikan dengan matriks B